Функция Мёбиуса

Статья на основе материалов из Википедии

Функция Мёбиуса `\mu(n)`  — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.

Определение

`\mu(n)` определена для всех натуральных чисел `n` и принимает значения `{-1,\;0,\;1}` в зависимости от характера разложения числа `n` на простые сомножители:

  • `\mu(n)=1` , если `n` свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение `n` на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
  • `\mu(n)=-1` , если `n` свободно от квадратов и разложение `n` на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
  • `\mu(n)=0` , если `n` не свободно от квадратов.

По определению также полагают `\mu(1)=1` .

50 первых точек

Свойства и приложения

  • Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел `a` и `b` выполняется равенство `\mu(ab)=\mu(a)\mu(b)` .
  • Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа `n` , не равного единице, равна нулю
`\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}` Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств, состоящих из нечётного числа элементов, равно количеству различных подмножеств, состоящих из чётного числа элементов, — факт, применяемый также в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.
  • `\sum\limits_{k=1}^n \mu(k)\left\frac{n}{k}\right =1.`
  • `\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k n)}{k}=0,` где n - положительное целое число.
  • `\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k)\ln k}{k}=-1.`
  • Функция Мёбиуса тесно связана с дзета-функцией Римана. Так, через функцию Мёбиуса выражаются коэффициенты ряда Дирихле функции, мультипликативно обратной для дзета-функции Римана:

`\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^{s}} = \frac{1}{\zeta(s)}` .

Ряд абсолютно сходится при `{\rm Re}\, s >1` , на прямой `{\rm Re}\, s = 1` сходится условно, в области `1/2 < {\rm Re}\, s < 1` утверждение об условной сходимости ряда эквивалентно гипотезе Римана, а при `{\rm Re}\, s < 1/2` ряд заведомо не сходится, даже условно.

При `{\rm Re}\, s >1` справедлива также формула:

: \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac

{n^{s}} = \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}

`M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k).`

  • Справедливы асимптотические соотношения:

`\frac{1}{x}\sum\limits_{n\leq x} \mu(n) = o(1)` при `x\rightarrow \infty` `\frac{1}{x}\sum\limits_{n\leq x} |\mu(n)| = \frac{1}{\zeta(2)} + O(\frac{1}{\sqrt x}) ` ,

из которых следует, что существует асимптотическая плотность распределения значений функции Мёбиуса. Линейная плотность множества её нулей равна `1 - 1/\zeta(2) = 0,3920729` , а плотность множества единиц (или минус единиц) `1/2\zeta(2) = 0,30396355` . На этом факте основаны теоретико-вероятностные подходы к изучению функции Мёбиуса.

Обращение Мёбиуса

Первая формула обращения Мёбиуса

Для арифметических функций `f` и `g` , `g(n)=\sum_{d\,\mid\, n}f(d)` тогда и только тогда, когда `f(n)=\sum_{d\,\mid\, n}\mu(d)g(n/d)` .

Вторая формула обращения Мёбиуса

Для вещественнозначных функций `f(x)` и `g(x)` , определённых при `x\geqslant 1` , ` g(x) = \sum_{n\leqslant x} f\left(\frac{x}{n}\right)` тогда и только тогда, когда `f(x) = \sum_{n\leqslant x}\mu(n) g\left(\frac{x}{n}\right)` .

Здесь сумма `\sum_{n\leqslant x}` интерпретируется как `\sum_{n=1}^{\lfloor x\rfloor}` .

Обобщённая функция Мёбиуса

Несмотря на кажущуюся неестественность определения функции Мёбиуса, его природа может стать ясна при рассмотрении класса функций с аналогичными свойствами обращаемости, вводимых на произвольных частично упорядоченных множествах.

Пусть задано некоторое частично упорядоченное множество с отношением сравнения `\prec` . Будем считать, что `a \preccurlyeq b \iff a \prec b \lor a = b` .

Определение

Обобщённая функция Мёбиуса рекуррентно определяется соотношением. `{\mu_A^*}(a,b) = \begin{cases}1, & a=b \\ -\sum \limits_{a \preccurlyeq z \prec b} {{\mu_A^*}(a,z)}, & a \prec b \\ 0, & b \prec a\end{cases}`

Формула обращения

Пусть функции g и f принимают вещественные значения на множестве `A` и выполнено условие `g(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {f(y)}` .

Тогда `f(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {{\mu_A^*}(y,x) g(y)}`

Связь с классической функцией Мёбиуса

Если взять в качестве `A` множество натуральных чисел, приняв за отношение `a \prec b` отношение `a \mid b \land a \not = b` , то получим `{\mu_{\mathbb N}^*}(a,b) = \mu\left({\frac{b}{a}}\right)` , где `\mu` - классическая функция Мёбиуса.

Это, в частности, означает, что `\mu(n)={\mu_{\mathbb N}^*}(1,n)` , и далее определение классической функции Мёбиуса следует по индукции из определения обобщённой функции и тождества `\sum \limits_{k=1}^{n} {(-1)^k C_n^k} = 0` , так как суммирование по всем делителям числа, не делимого на полный квадрат, можно рассматривать как суммирование по булеану его простых множителей, перемножаемых в каждом элементе булеана.

См. также

Литература

    Ссылки