Фазовое пространство

Статья на основе материалов из Википедии
Есть другие значения: Фазовая скорость

Двумерное фазовое пространство динамической системы (её развитие имеет вид расходящейся спирали)

Фазовое пространство в математике и физике — пространство, на котором множество всех состояний системы представлено так, что каждому возможному состоянию системы соответствует одна и только одна точка этого пространства, — которая носит название «изображающей» или «представляющей» точки, — и, наоборот, каждой точке этого пространства соответствует одно и только одно состояние системы. Таким образом, изменению состояний системы, — т.е. её динамике — можно соподчинить движение изображающей точки; траекторию этой точки называют фазовой траекторией (её не следует смешивать с действительной траекторией движения), а скорость такой изображающей точки называют фазовой скоростью.[1]

Концепция фазового пространства была разработана в конце 19 века Людвигом Больцманом, Анри Пуанкаре и Уиллардом Гиббсом.[2]

Общие положения

Как правило, выбирают пространства с евклидовой метрикой, используя либо декартову, либо полярную систему координат.

Для систем с одной степенью свободы фазовое пространство вырождается в фазовую плоскость.

Фазовые траектории

При помощи уравнений траектории в фазовом пространстве (фазовой плоскости) для исследуемой системы строят интегральные кривые, — т.е. кривые в фазовом пространстве такие, что в каждой их точке касательная имеет наклон, задаваемый уравнением траектории. Геометрическое построение интегральных кривых называют «качественным интегрированием уравнений».

Понятия «интегральная кривая» и «фазовая траектория» в общем случае следует различать, «так как может случиться, что одна интегральная кривая состоит не из одной, а сразу из нескольких фазовых траекторий».

Картину кривых в фазовом пространстве (на фазовой плоскости) можно описать:

  • либо одним уравнением — в координатной форме, т.е. при помощи уравнений, которые не содержат времени, — и изучать с его помощью интегральные кривые,
  • либо описывать системой уравнений в параметрической форме, — где независимая переменная `t` , время, выполняет роль параметра — и изучать фазовые траектории.

Необходимость различения этих двух способов изображения одного и того же можно продемонстрировать на примере простейшей консервативной системы, описываемой уравнением ` \ddot x = f(x)` : в этом случае для особой точки условия теоремы Коши окажутся нарушенными при рассмотрении координатного уравнения, но будут выполнены для уравнения, записанного в параметрической форме.[3]

Целой фазовой траекторией называют ту кривую в фазовом пространстве, которую описывает изображающая точка за всё время своего движения (от `t = -\infty` до `t = +\infty` ).[4]

Фазовый портрет

Фазовый портрет исследуемой системы — это совокупность фазовых траекторий для всевозможных начальных условий.[4] Его можно рассматривать как .[5]

Поскольку при изучении поведения системы интересуются прежде всего стационарными движениями в системе,[6] то фазовый портрет можно также рассматривать как разбиение фазового пространства на области притяжения стационарных решений.[7]

Классификацию характера особых точек системы уравнений можно провести на основании особенностей фазового портрета, поскольку как минимум для некоторых систем каждая особая точка системы дифференциальных уравнений является также и особой точкой в смысле, употребляемом в дифференциальной геометрии.[3]

Ф.п. обычно как-то деформируется при изменении параметров системы. Качественному изменению ф.п. соответствует исчезновение существующих и рождение новых стационарных решений, — и такое изменение ф.п. называют бифуркационной ситуацией.[8]

Для удобства, изучение фазового портрета системы разделяют[3] на исследование характера движений системы:

  • вблизи состояний равновесия,
  • на всей фазовой плоскости.

При изучении фазового портрета интересует прежде всего общая топологическая картина движений на фазовой плоскости.[3]

Фазовая скорость

Фазовая скорость — это скорость изменения состояния системы; она соответствует скорости движения изображающей точки в фазовом пространстве.[3]

Для вычисления величины фазовой скорости вводят понятие «фазовый радиус-вектор», как это делается в классической механике.[4]

К примеру, для простейшей консервативной системы, описываемой уравнением ` \ddot x = f(x)` , скорость изображающей точки вычисляется как: ` \mathbf{v} = \mathbf{i} y + \mathbf{j} f(x)` и будет всюду определена однозначно, и обращается в ноль только в особой точке.[3] Модуль фазовой скорости в этом случае будет вычисляться как: ` v = \frac{ds}{dt} = \sqrt { (\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = \sqrt {y^2 + f(x) ^2}` , где: `\frac{dx}{dt} = y `  и  `\frac{dy}{dt} = f(x) ` .

Вычисление фазовой скоростью даёт возможность более точно прослеживать изменения в системе. Так, к примеру, в случае бифуркации седло—узел можно обнаружить область состояний системы, в которой происходит значительное уменьшение модуля фазовой скорости.[9]

Особенности систем разного типа

Механические системы

В классической механике фазовыми пространствами служат гладкие многообразия. В случае механических систем это пространство четной размерности, координатами в котором являются обычные пространственные координаты (или обобщённые координаты) частиц системы и их импульсы (или обобщённые импульсы). Кроме того, в механике движение изображающей точки определяется сравнительно простыми уравнениями Гамильтона, анализ которых позволяет делать заключения о поведении сложных механических систем.

Например, фазовое пространство для системы, состоящей из одной свободной материальной точки, имеет 6 измерений, три из которых — это три обычные координаты, а ещё три — это компоненты импульса. Соответственно, фазовое пространство для системы из двух свободных материальных точек будет содержать 12 измерений и т. д.

Термодинамика и статистическая механика

В термодинамике и статистической механике термин «фазовое пространство» имеет два значения: 1) он используется в том же смысле, что и в классической механике; 2) он может также относиться к пространству, которое параметризуется макроскопическими состояниями системы, такими как давление, температура и т.д.

Динамические системы

В теории динамических систем и теории дифференциальных уравнений фазовое пространство является более общим понятием. Оно не обязательно чётномерно и динамика в нём не обязательно задаётся уравнениями Гамильтона.

Случай нескольких систем

Если взять в рассмотрение несколько одинаковых систем, надо задать несколько точек в фазовом пространстве. Совокупность таких систем называют статистическим ансамблем. По теореме Лиувилля, замкнутая кривая (или поверхность), состоящая из точек фазового пространства гамильтоновой системы эволюционирует так, что площадь (или объем) заключенного в ней фазового пространства сохраняется во времени.

Примеры

Понятие фазового пространства широко используется в разных областях физики.[10] [11] Весьма полезным оно оказалось для изучения феноменов бифуркационной памяти.[12]

Интерпретация состояния движущегося объекта как точки в фазовом пространстве разрешает парадокс Зенона. (Парадокс состоит в том, что если мы описываем состояние объекта его положением в конфигурационном пространстве, то объект не может двигаться.)

Гармонический осциллятор

Главная статья: Гармонический осциллятор

Простейшая автономная колебательная система получила название «гармонический осциллятор»; её динамика описывается линейным дифференциальным уравнением вида: ` \ddot x + \omega_0^2 x = 0. `

Такая система совершает периодические синусоидальные (гармонические) движения; колебательное движение не возникает лишь в случае `x_0 = 0` и `\dot x_0 = 0` , т.е. когда осциллятор в начальный момент находится в состоянии равновесия — в этом случае он продолжает и дальше в нём оставаться. Координатное уравнение фазовой траектории такой системы задаёт интегральные кривые в виде семейства подобных (с постоянным соотношением осей) эллипсов, причём через каждую точку ф.п. проходит один и только один эллипс. Указанное состояние равновесия является особой точкой этой системы, — а именно центром.[4]

Квантовый осциллятор

Главная статья: Квантовый осциллятор

Фазовое пространство состояний квантового осциллятора позволяет описать квантовый шум усилителя в терминах неопределенностей эрмитовой и анти-эрмитовой компонент поля; при этом не требуется предположение о линейности преобразования фазового пространства, осуществляемого усилителем.[13] Производные передаточной функции усилителя определяют ограничение снизу на уровень квантового шума. Грубо говоря, чем более сложным является преобразование, тем больше квантовый шум.

Фазовое пространство позволяет построить единый формализм для классической и квантовой механики.[14] Оператор эволюции формулируется в терминах скобки Пуассона; в квантовом случае эта скобка является обычным коммутатором. При этом классическая и квантовая механика строятся на одних и тех же аксиомах; они формулируются в терминах, которые имеют смысл как в классической, так и в квантовой механике.

Теория хаоса

Классическими примерами фазовых диаграмм из теории хаоса являются:

Оптика

Фазовое пространство широко используется в неизолирующей оптике,[15] — ответвление оптики, посвященное освещению. Это также важное понятие в .

См. также

Примечания

Литература

Ссылки