Уравнение Клейна — Гордона

Статья на основе материалов из Википедии

Уравнение Клейна — Гордона (иногда Клейна — Гордона — Фока или Клейна — Фока[1][2]):

`\partial^2_x \psi + \partial^2_y \psi + \partial^2_z \psi - {1\over c^2}\partial^2_t \psi - {m^2 c^2\over \hbar^2} \psi = 0,` или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где `\hbar=c=1` ): `(\square\ - m^2) \psi = 0,` где `\square\ `  — оператор Д’Аламбера.

— является релятивистской версией уравнения Шрёдингера. Используется для описания быстро движущихся частиц, имеющих массу (массу покоя). Строго применимо к описанию скалярных массивных полей (впрочем, пока с определённостью не известных в фундаментальной физике). Может быть обобщено для частиц с целым и полуцелым спинами.[3] Кроме прочего, ясно, что уравнение является обобщением волнового уравнения, подходящего для описания безмассовых скалярных и векторных полей.

Механические системы (реальные или воображаемые), описывающиеся уравнением Клейна — Гордона — Фока, могут быть простыми модификациями систем, описывающихся волновым уравнением, например:

  • в одномерном случае — натянутая тяжёлая нить, лежащая (приклеенная) на упругой (гуковской) подкладке.
  • макроскопически изотропный кристалл, каждый атом которого находится, кроме связи с соседними атомами, ещё и в фиксированной в пространстве квадратичной потенциальной яме.
  • более реалистично, если говорить о реальных кристаллах, рассмотреть моды поперечных колебаний, при которых, например, соседние слои атомов колеблются в противофазе: такие моды (в линейном приближении) будут подчиняться двумерному уравнению Клейна — Гордона — Фока в координатах, лежащих в плоскости слоев.

Уравнение, в котором последний («массовый») член имеет знак, противоположный обычному, описывает в теоретической физике тахион. Такой вариант уравнения также допускает простую механическую реализацию.

Уравнение Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы (которое и приведено выше) имеет простое решение в виде синусоидальных плоских волн.

  • Замечание: положив пространственные производные нулю (что в квантовой механике соответствует нулевому импульсу частицы), мы имеем для обычного уравнения Клейна — Гордона — Фока гармонический осциллятор с частотой `\pm mc^2 / \hbar` , что соответствует ненулевой энергии покоя, определяемой массой `m` частицы. Тахионный же вариант уравнения в этом случае неустойчив, а решение его включает в общем случае неограниченно возрастающую экспоненту.

История

Уравнение Клейна — Гордона первоначально записал Эрвин Шрёдингер до записи нерелятивистского уравнения, которое носит сейчас его имя. Он отказался от него (не опубликовав), потому что не смог включить спин электрона в уравнение. Шрёдингер сделал упрощение уравнения Клейна — Гордона и нашёл «своё» уравнение.

В 1926 году, вскоре после публикации уравнения Шрёдингера, Фок[4][5] написал статью о его обобщении на случай магнитных полей, где силы зависели от скорости и независимо вывел это уравнение. И Клейн[6] (его работа появилась несколько раньше, но вышла из печати уже после того, как статья Фока была принята в журнал), и Фок использовали метод Калуцы — Клейна. Фок также ввёл калибровочную теорию для волнового уравнения.

Статья Гордона (начало 1926) была посвящена эффекту Комптона.[7]

Вывод

(Здесь использованы естественные единицы где `\hbar=c=1` ).

Уравнение Шрёдингера для свободной частицы записывается так: `\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m} \psi = i \partial_t \psi,` где `\hat{\mathbf{p}} = -i\mathbf{\nabla}`  — оператор импульса, оператор же ` \hat{E} = i \partial_t `  — будем называть, в отличие от гамильтониана, просто оператором энергии.

Уравнение Шрёдингера не является релятивистски ковариантным, то есть не согласуется со специальной теорией относительности (СТО).

Используем релятивистское дисперсионное (связывающее энергию и импульс) соотношение (из СТО): `p^2 + m^2 = E^2.` Тогда просто подставляя квантовомеханические оператор импульса и оператор энергииМожно было бы просто извлечь корень из оператора в скобках в левой части уравнения `((-i\mathbf{\nabla})^2 + m^2) \psi= i^2 \partial_t^2 \psi,` то есть найти таким образом гамильтониан, тогда в правой части осталась бы первая производная по времени, и аналогия с уравнением Шрёдингера была бы ещё более непосредственной и прямой. Однако утверждается, что для случая скалярного (или векторного) поля `\psi` невозможно проделать это так, чтобы получившийся гамильтониан был локальным.

Для случая же биспинорного `\psi` Дираку удалось получить таким образом локальный (и даже с производными лишь первого порядка) гамильтониан, получив этим самым так называемое уравнение Дирака (все решения которого в пространстве Минковского, кстати, являются и решениями уравнения Клейна — Гордона, но не обратно; а в искривлённом пространстве различие уравнений становится явным). — получаем: `((-i\mathbf{\nabla})^2 + m^2) \psi= i^2 \partial_t^2 \psi,` что в ковариантной форме запишется так: `(\square\ - m^2) \psi = 0,` где ` \square\ = \nabla^2 - \partial_t^2 `  — оператор Д’Аламбера.

Решение уравнения Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы

Искать решение уравнения Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы `\mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi= \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi` можно, как и для любого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в виде суперпозиции (то есть любой, конечной или бесконечной линейной комбинации) плоских волн: `\psi(\mathbf{r},\; t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)},` подставляя же каждую такую волну в уравнение, получаем условие на `\mathbf k` и `\omega` : `-k^2+\frac{\omega^2}{c^2}=\frac{m^2c^2}{\hbar^2}.` Плоская волна, как легко заметить, описывает чистое состояние с определённой энергией и импульсом (то есть является собственной функцией соответствующих операторов). Энергия и импульс (то есть собственные значения этих операторов), исходя из этого, могут быть для неё просто посчитаны, как и в случае нерелятивистской частицы: : \langle\mathbf{p}\rangle= \langle \psi |\hat{\mathbf{p}}|\psi\rangle = \langle \psi |-i\hbar\mathbf{\nabla}|\psi\rangle = \hbar\mathbf{k},

: \langle E\rangle= \langle \psi |\hat{E}|\psi\rangle = \langle \psi |i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle = \hbar\omega.

Найденное соотношение `k` и `\omega` тогда (снова) даёт уравнение связи между энергией и импульсом релятивистской частицы с ненулевой массой, известное из классики: `\langle E^2 \rangle=m^2c^4+\langle \mathbf{p}^2 \rangle c^2.` Причём ясно, что соотношение для средних величин будет выполняться не только для состояний с определённой энергией и импульсом, но и для любой их суперпозиции, то есть для любого решения уравнения Клейна — Гордона — Фока (что, в частности, обеспечивает выполнение этого соотношения и в классическом пределе).

Для безмассовых частиц мы можем положить `m=0` в последнем уравнении. Тогда получим для безмассовых частиц закон дисперсии (он же соотношение энергии и импульса) в виде: `\langle E^2 \rangle=\langle \mathbf{p}^2 \rangle c^2.` Использовав формулу групповой скорости ` \mathbf{v}_{gr} = \partial \omega / \partial \mathbf{k}\ ` , нетрудно получить обычные релятивистские формулы связи импульса и энергии со скоростью; в принципе, того же результата можно добиться и просто посчитав коммутатор гамильтониана с координатой, но в случае уравнения Клейна — Гордона — Фока мы сталкиваемся с трудностью выписать гамильтониан в явном виде[8] (очевиден только квадрат гамильтониана).

Примечания

  1. Демков Ю. Н. Развитие теории электронно-атомных столкновений в Ленинградском университете .
  2. Фаддеев Л. Д. Новая жизнь полной интегрируемости // УФН. — 2013. — май (том 183, № 5). — с. 490.
  3. см. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — § 4, 6.
  4. Vladimir Fock // Zeitschrift für Physik 38 (1926) 242.
  5. Vladimir Fock // Zeitschrift für Physik 39 (1926) 226.
  6. Klein O. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie // Zeitschrift für Physik 37:895-906. — 1926.
  7. Gordon W. Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie (Эффект Комптона в теории Шредингера) // Zeitschrift für Physik. — v. 40. — iss. 1. — pp. 117—133 (1926). — DOI 10.1007/BF01390840 .
  8. см. примечание 2.

См. также

Ссылки

Математическая физика
Виды уравнений
Типы уравнений
Краевые условия
Уравнения математической физики
Методы решения
Методы решения дифференциальных уравнений
{{Подгруппы навигационной таблицы
Исследование уравнений
Связанные темы