Полугруппа с делением

Статья на основе материалов из Википедии

В математике полугруппой с делением называется частично упорядоченная полугруппа `(S, \cdot, \leqslant)` , в которой для любых двух элементов `a` и `b` определены правое ( `a/b` ) и левое ( `b \backslash a` ) частные, причём выполняются условия: `\forall c \in S\quad c \leqslant a/b \Leftrightarrow c \cdot b \leqslant a` (правое; читается « `a` над `b` »); `\forall c \in S\quad c \leqslant b \backslash a \Leftrightarrow b \cdot c \leqslant a` (левое; читается « `b` под `a` »).

Очевидно, что если полугруппа абелева, то правое и левое частные совпадают. Правое и левое частные для каждых двух элементов определяются однозначно.

Примеры

  • Натуральные числа с операцией сложения `(\mathbb{N}, +, \geqslant)` ;
  • Любая импликативная решётка: здесь псевдодополнение играет роль как правого, так и левого частного.
  • Множество всех подмножеств частично упорядоченной полугруппы S с операцией `\cdot: A\cdot B = \{a \cdot b | a \in A, b \in B\}` . Здесь `A/B = \{c \in S| \{c\} \cdot B \subseteq A\}` (левое — аналогично).