Поверхность второго порядка

Статья на основе материалов из Википедии

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида : a_{11}x^2 + a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{13}xz+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0

в котором по крайней мере один из коэффициентов `a_{11}` , `a_{22}` , `a_{33}` , `a_{12}` , `a_{23}` , `a_{13}` отличен от нуля.

Поверхности второго порядка, получающиеся при различных значениях параметров уравнения

Типы поверхностей второго порядка

Цилиндрические поверхности

Поверхность `S` называется цилиндрической поверхностью с образующей `\vec{l}` , если для любой точки `M_0` этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей `\vec{l}` , целиком принадлежит поверхности `S` .

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность `S` имеет уравнение `f(x,y)=0` , то `S`  — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси `OZ` .

Кривая, задаваемая уравнением `f(x,y)=0` в плоскости `z=0` , называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Конические поверхности

Коническая поверхность.

Главная статья: Коническая поверхность
Поверхность `S` называется
конической поверхностью с вершиной в точке `O` , если для любой точки `M_0` этой поверхности прямая, проходящая через `M_0` и `O` , целиком принадлежит этой поверхности.

Функция `F(x,y,z)` называется однородной порядка `m` , если `\forall t \in \mathbb{R}\;\forall x,y,z` выполняется следующее `F(tx,ty,tz)=t^mF(x,y,z)`

Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность `S` задана уравнением `F(x,y,z)=0` , где `F(x,y,z)`  — однородная функция, то `S`  — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность `S` задана функцией `F(x,y,z)` , являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то `S` называется конической поверхностью второго порядка.

  • Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:
`\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0`

Поверхности вращения

Поверхность `S` называется поверхностью вращения вокруг оси `OZ` , если для любой точки `M_0(x_0,y_0,z_0)` этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости `z=z_0` с центром в `(0,0,z_0)` и радиусом `r=\sqrt{x_0^2+y_0^2}` , целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность `S` задана уравнением `F(x^2+y^2,z)=0` , то `S`  — поверхность вращения вокруг оси `OZ` .

+Эллипсоид:Однополостной гиперболоид:Двуполостной гиперболоид:Эллиптический параболоид:Гиперболический параболоид:
`\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1` `\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1` `\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1` `\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2z` `\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z`

В случае, если `a=b\neq 0` , перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.

Эллиптический параболоид

Уравнение эллиптического параболоида имеет вид
`\frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} = 2z.`

Если `a=b` , то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы, параметр которой `p = a^2 = b^2 ` , вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину и фокус данной параболы.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью `z=z_0>0` является эллипсом.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью `x=x_0` или `y=y_0` является параболой.

Гиперболический параболоид

Уравнение гиперболического параболоида имеет вид
`\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z.`

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью `z=z_0` является гиперболой.

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью `x=x_0` или `y=y_0` является параболой.

Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

Центральные поверхности

Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты `\left(x_0,\;y_0\;z_0\right)` можно найти, решив систему уравнений:

`\begin{cases} a_{11}x_0 + a_{12}y_0 + a_{13}z_0 + a_{14} = 0 \\ a_{21}x_0 + a_{22}y_0 + a_{23}z_0 + a_{24} = 0 \\ a_{31}x_0 + a_{32}y_0 + a_{33}z_0 + a_{34} = 0 \end{cases}`

Матричный вид уравнения поверхности второго порядка

Уравнение поверхности второго порядка может быть переписано в матричном виде:

:: \begin{pmatrix} x & y & z & 1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = 0

Также можно выделить квадратичную и линейную части друг от друга:

:: \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} a_{14} & a_{24} & a_{34} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} + a_{44} = 0

Если обозначить A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix} \quad b = \begin{pmatrix} a_{14} & a_{24} & a_{34} \end{pmatrix} \quad X = \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}^T , то уравнение приобретает следующий вид:

`X^T A X + 2 b X + a_{44} = 0`

Инварианты

Значения следующих величин сохраняются при ортогональных преобразованиях базиса:

  • Связанных с матрицей `A` :
I_1 = \mathrm{tr} \, A
I_2 = {M_A}_{1,2}^{1,2} + {M_A}_{1,3}^{1,3} + {M_A}_{2,3}^{2,3} , где `{M_A}_{i,j}^{i,j}`  — минор второго порядка матрицы A, расположенный в строках и столбцах с индексами i и j.
I_3 = \det A
  • Связанных с блочной матрицей `B = \begin{pmatrix} A & b \\ b^T & a_{44} \end{pmatrix}` :
K_2 = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=i+1}^{4} {M_B}_{i,j}^{i,j}
K_3 = \sum_{i=1}^{2} \sum_{j=i+1}^{3} \sum_{k=j+1}^{4} {M_B}_{i,j,k}^{i,j,k}
K_4 = \det B

При параллельном переносе системы координат величины `I_1, I_2, I_3, K_4` остаются неизменными. При этом:

  • `K_3` остается неизменной только если `I_2=I_3=K_4=0`
  • `K_2` остается неизменной только если `I_2=I_3=K_4=K_3=0`

Классификация поверхностей второго порядка относительно значений инвариантов

Литература

  • В. А. Ильин, Г. Д. Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия — М. : Проспект, 2012 — 400
  • В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Аналитическая геометрия — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002 — 240
  • П. С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры — М. : ФИЗМАТЛИТ, 1979 — 511
  • Шаль''. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. 5, § 46-54. М., 1883.

См. также