Остаток ряда

Статья на основе материалов из Википедии

Ряд, полученный отбрасыванием от исходного n первых членов, называется n-м остатком ряда.

Обозначение: `r_n=\sum_{k=n+1}^\infty a_k`

Все члены, кроме тех, что входят в n-й остаток ряда, в сумме дают т. н. n-ю частичную сумму ряда.

Свойства

Для остатка ряда справедливы следующие утверждения:

  1. Если ряд сходится, то сходится любой его остаток.
  2. Если хотя бы один остаток ряда сходится, то и сам ряд сходится.
  3. Если ряд сходится, то
`\lim_{n \to \infty} \sum_{k=n+1}^\infty a_k=0`

Существуют способы оценки остатка ряда с помощью интегрального признака Коши (для знакоположительного ряда) и Признака сходимости Лейбница (для знакочередующегося ряда).

Последовательности и ряды
Последовательности
Ряды, основное
Числовые ряды
(действия с числовыми рядами)
Функциональные ряды
Другие виды рядов
Признаки сходимости
{{#ifeq: {} | child | | Признаки сходимости рядов }}
Для всех рядов
Для знакоположительных
рядов
Для знакочередующихся
рядов
Признак Лейбница
Для рядов вида `\sum^\infty_{n=1}a_n b_n`
Для функциональных рядов
Для рядов Фурье