Мультипликативная функция

Статья на основе материалов из Википедии

В теории чисел мультипликативная функцияарифметическая функция `f(m)` , такая что `f(m_1 m_2) = f(m_1)f(m_2)` для любых взаимно простых чисел `m_1` и `m_2`

`f(1)=1`

При выполнении первого условия, требование `f(1)=1` равносильно тому, что функция `f(m)` не равна тождественно нулю.

Следует отметить, что вне теории чисел под мультипликативной функцией понимают любую функцию `f` , определенную на некотором множестве `X` , такую что `f(x_1 x_2) = f(x_1) f(x_2)`  для любых `x_1, x_2 \in X` .

В теории чисел такие функции, то есть функции `f(m)` , для которых условие мультипликативности выполнено для всех натуральных `m_1, m_2` , называются вполне мультипликативными.

Мультипликативная функция называется сильно мультипликативной, если `f(p^\alpha) = f(p)` для всех простых `p` и всех натуральных `\alpha` .

Функция `f` называется вполне мультипликативной тогда и только тогда, когда для любых натуральных `x,y` выполняется соотношение `f(xy)=f(x)f(y)` .

Примеры

Построение

Из основной теоремы арифметики следует, что можно произвольно задать значения мультипликативной функции `f(n)` на простых числах и их степенях, а также определить `f(1) = 1;` все прочие значения полученной функции определяются из свойства мультипликативности.

Произведение любых мультипликативных функций также является мультипликативной функцией.

Если `f(m)` — мультипликативная функция, то функция `g(m) = \sum_{d|m} f(d)` также будет мультипликативной. Обратно, если функция `g(m)` , определенная этим соотношением является мультипликативной, то и исходная функция `f(m)` также мультипликативна.

Более того, если `f(m)` и `g(m)` — мультипликативные функции, то мультипликативной будет и их свертка Дирихле: `h(m) = \sum_{d|m} f(d) g\left(\frac{m}{d}\right)`

Литература