Квазиклассическое приближение

Статья на основе материалов из Википедии

Квазиклассическое приближение, также известное как метод ВКБ (Вентцеля — КрамерсаБриллюэна) — самый известный пример квазиклассического вычисления в квантовой механике, в котором волновая функция представлена как показательная функция, квазиклассически расширенная, а затем или амплитуда, или фаза медленно изменяются. Этот метод назван в честь физиков Г. Вентцеля, Х.А. Крамерса и Л. Бриллюэна, которые развили этот метод в 1926 году независимо друг от друга. В 1923 математик Гарольд Джеффри развил общий метод приближённого решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, который включает и решение уравнения Шрёдингера. Но так как уравнение Шрёдингера появилось два года спустя, и Вентцель и Крамерс и Бриллюэн, очевидно, не знали эту более раннюю работу.

Вывод

Начиная с одномерного стационарного уравнения Шрёдингера: `-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) + V(x) \Psi(x) = E \Psi(x)`

которое можно переписать в виде

`\frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right) \Psi(x)`

мы представим волновую функцию в виде экспоненциальной функции другой неизвестной функции Φ

`\Psi(x) = e^{\Phi(x)}`

Φ должна удовлетворять уравнению

`\Phi(x) + \left\Phi'(x)\right ^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)`

где Φ' означает производную от Φ по x. Разделим `\Phi'(x)` на действительную и мнимую части вводя действительные функции A и B:

`\Phi'(x) = A(x) + i B(x)`

Тогда амплитуда волновой функции `e^{\int^x A(x')dx'}` , а фаза — `{\int^x B(x')dx'}` . Из уравнения Шрёдингера следуют два уравнения которым должны удовлетворять эти функции:

`A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right) \;`

`B'(x) + 2 A(x) B(x) = 0. \;`

Мы хотим рассмотреть квазиклассическое приближение, чтобы решить эти уравнения. Это означает, что мы разложим каждую функцию как ряд по степеням ` \hbar ` . Из уравнений мы можем видеть, что степенной ряд должен начинаться со слагаемого ` \hbar ^ {-1} ` , чтобы удовлетворить реальной части уравнения. Но поскольку нам нужен хороший классический предел, мы также хотим начать разложение со столь высокой степени постоянной Планка насколько это возможно.

`A(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{i=0}^\infty \hbar^i A_i(x)`

`B(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{i=0}^\infty \hbar^i B_i(x)`

С точностью до первого порядка разложения уравнения запишутся в виде

`A_0(x)^2 - B_0(x)^2 = 2m \left( V(x) - E \right)`

`A_0(x) B_0(x) = 0`

Если амплитуда меняется слабее, чем фаза, то можно положить `A_0(x) = 0` и получить

`B_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }`

Это верно, только если полная энергия больше потенциальной энергии. После аналогичных вычислений для следующего порядка малости получим

`\Psi(x) \approx C \frac{ e^{i \int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} + \theta} }{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)}}`

С другой стороны, если фаза меняется медленно по сравнению с амплитудой мы положим `B_0(x) = 0` и получим

`A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) }`

Это верно если потенциальная энергия больше полной. Для следующего порядка малости получим

`\Psi(x) \approx \frac{ C_{+} e^{+\int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}} + C_{-} e^{-\int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}`

Это очевидно, что из-за знаменателя оба из этих приближённых решений расходятся около классической точки поворота, где ` E = V (x) ` и не может быть правильной. Мы имеем приблизительные решения далеко от потенциального барьера и ниже потенциального холма. Далеко от потенциального барьера частицы ведут себя подобно свободной волне - фаза осциллирует. Ниже потенциального барьера частица подвергается экспоненциальным изменениям в амплитуде.

Чтобы полностью решить задачу, мы должны найти приблизительные решения всюду и приравнять коэффициенты, чтобы сделать глобальное приблизительное решение. Мы должны всё же приблизить решение около классических точек поворота

Обозначим классическую точку поворота `x_1` . Вблизи `E=V(x_1)` , можно разложить `\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right)` в ряд.

`\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) = U_1 (x - x_1) + U_2 (x - x_1)^2 + \cdots`

Для первого порядка получим

`\frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = U_1 (x - x_1) \Psi(x)`

Решение его вблизи точек поворота выглядит следующим образом

`\Psi(x) = \sqrt{x - x_1} \left( C_{+\frac{1}{3}} J_{+\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}\sqrt{U_1}(x - x_1)^{\frac{1}{3}}\right) + C_{-\frac{1}{3}} J_{-\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}\sqrt{U_1}(x - x_1)^{\frac{1}{3}}\right) \right)`

Используя асимптотики данного решения, можно найти отношения между `C,\theta` и `C_{+},C_{-}` :

`C_{+} = \frac{1}{2} C \cos{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)}`

`C_{-} = - C \sin{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)}`

Что завершает построение глобального решения.

Литература