Интегральный признак Коши — Маклорена

Статья на основе материалов из Википедии
Есть другие значения: Признак Коши

Интегральный признак Коши́ — Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши — Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на `[1,\infty)` , последний часто может быть найден в явном виде.

Формулировка теоремы

{{теорема|Пусть для функции f(x) выполняется:

  1. `\forall x: f(x)\geqslant 0` (функция принимает неотрицательные значения)
  2. `\forall x_1 \forall x_2: f(x_1)>f(x_2) \Leftrightarrow x_1 < x_2` (функция монотонно убывает)
  3. `\forall n \in \N: f(n) = a_n` (соответствие функции члену ряда)
Тогда ряд `\sum_{n=1}^\infty a_n` и несобственный интеграл `\int\limits_1^\infty\!f(x)\,dx` сходятся или расходятся одновременно.}}

Доказательство

right

`\forall b > 1` `f(x)` монотонна на `b `

Следовательно `\int\limits_1^b f(x) dx` сходится

`\forall x \in n+1 ` `f(n) \geqslant f(x) \geqslant f(n+1)`

`\forall n \in \N` `\int\limits_n^{n+1} f(n) dx = f(n) \geqslant \int\limits_n^{n+1} f(x) dx \geqslant f(n+1)`

`S_n = f(1) + ... + f(n) \geqslant \int\limits_1^{n+1} f(x) dx \geqslant S_{n+1}-f(1)`

`S_n` нестрого монотонно возрастает

Обозначим `F(x) = \int\limits_1^x f(t) dt`

Пределы `S_n` и `F(x)`  — конечные числа, следовательно `S_n` и `F(x)` ограничены (идея)

Пусть сходится интеграл `\int\limits_1^\infty f(x) dx` `\Rightarrow` `F(x)` ограничена `\Rightarrow` `S_n` ограничена `\Rightarrow` `\exists \lim\limits_{n \to \infty} S_n`

Пусть теперь сходится сумма `S_n` `\Rightarrow` `\forall n` `\exists S \geqslant S_n` `\Rightarrow` `\forall n` `S \geqslant \int\limits_1^{n+1} f(x) dx \geqslant \int\limits_1^b f(x) dx` `\Rightarrow` `F(x)` ограничена `\Rightarrow` `\exists \lim\limits_{b \to +\infty} \int\limits_1^b f(x) dx` , так как если функция `f(x)` неотрицательна на некотором полуинтервале `[a,b)` , то для сходимости интеграла `\int\limits_a^b f(x) dx ` необходимо и достаточно ограниченности всех интегралов `\int\limits_a^c f(x) dx` , где `c \in [a, b)`

Примеры

  • `\sum\frac1n` расходится, так как `\int\limits_1^\infty\frac1xdx=\ln x|_1^\infty=\infty` .
  • `\sum\frac1{n^2}` сходится, так как `\int\limits_1^\infty\frac1{x^2}dx=-\left.\frac1x\right|_1^\infty=1` .

Оценка остатка ряда

Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток `r_n` знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения `S_n - a_1 \leqslant \int\limits_1^n f(x)\,dx \leqslant S_{n-1}` с помощью несложных преобразований получаем: `\int\limits_{n+1}^\infty f(x)\,dx \leqslant r_n \leqslant \int\limits_n^\infty f(x)\,dx \leqslant a_n + \int\limits_{n+1}^\infty f(x)\,dx` .

См. также

{{#ifeq: {} | child | | Признаки сходимости рядов }}
Для всех рядов
Для знакоположительных
рядов
Для знакочередующихся
рядов
Признак Лейбница
Для рядов вида `\sum^\infty_{n=1}a_n b_n`
Для функциональных рядов
Для рядов Фурье