Импликативная решётка

Статья на основе материалов из Википедии

В математике решётка называется импликативной, если для каждых двух элементов a и b существует псевдодополнение a относительно b ( `a \to b` ), определяемое так:

`a \to b = \max\{c: a \cdot c \leqslant b\}` .
Аксиоматически импликативная решётка получается из обычной присоединением двух аксиом: `a \cdot (a \to b) \leqslant b,\quad a \cdot c \leqslant b \Rightarrow c \leqslant (a \to b)` . Частным случаем импликативных решёток являются псевдобулевы алгебры. Сами импликативные решётки являются частным случаем полугруппы с делением, в которой левому и правому делению `a \backslash b` и `b / a` соответствует одна операция `a \to b` .

Свойства

  • Во всякой импликативной решётке имеется максимальный элемент ( `a \to a` ), обычно обозначаемый как 1.
  • Всякая импликативная решётка дистрибутивна.
  • Для всех элементов `a` , `b` и `c` всякой импликативной решётки верны следующие утверждения:
:# `a \leqslant b \Rightarrow b \to c \leqslant a \to c` ; :# `a \leqslant b \Rightarrow c \to a \leqslant c \to b` ; :# `a \leqslant b \to c \Rightarrow a \cdot b \leqslant c` ; :# `a \to b = 1 \Leftrightarrow a \leqslant b` ; :# `b \leqslant a \to b` ; :# `a \to b \leqslant ((a \to (b \to c)) \to (a \to c))` ; :# `a \leqslant b \to a \cdot b` ; :# `a \to c \leqslant (b \to c) \to (a + b \to c)` . : Эти утверждения используются при доказательстве того, что псевдобулевы алгебры являются моделями интуиционистского исчисления высказываний.
  • `\nabla` является фильтром импликативной решётки тогда и только тогда, когда `1 \in \nabla` и `(a \in \nabla, a \to b \in \nabla) \Rightarrow b \in \nabla` .
  • Пусть `A`  — импликативная решётка, `\nabla`  — фильтр, тогда факторрешётка `A / \nabla` импликативна, а класс `\nabla` будет максимальным элементом новой решётки.