Знакочередующийся ряд

Статья на основе материалов из Википедии

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

`\sum_{n=1}^\infty b_n = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\,a_n, \; a_n>0`

Признак Лейбница

Главная статья: Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов
Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть для знакочередующегося ряда ` \sum_{n=1}^\infty b_n = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\,a_n, \; a_n>0 ` выполняются следующие условия:

  1. `a_{n+1} < a_n ` (монотонное убывание {an})
  2. `\lim_{n \to \infty} \, a_n = 0` .
Тогда этот ряд сходится. |} Замечания:

Если выполнены все условия, и ряд из модулей ( ` \sum_{n=1}^\infty a_n` ) сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Если выполнены все условия, но ряд из модулей расходится, то исходный ряд сходится условно. Строгая положительность `a_n` существенна.

Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что монотонное убывание не является необходимым для сходимости знакочередующегося ряда, таким образом и сам признак является только достаточным, но не необходимым.

Пример ` \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n} \;` . Ряд из модулей имеет вид ` \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}`  — это гармонический ряд, который расходится.

Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

  1. знакочередование выполнено `b_n = (-1)^{n+1}\,a_n, \; a_n>0`
  2. `\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n} , \;\forall \;n`
  3. `\lim_{n \to \infty} \, \frac{1}{n} = 0` .
Следовательно, так как все условия выполнены, но ряд из модулей расходится, искомый ряд сходится условно.

Оценка остатка ряда Лейбница

Из доказательства признака Лейбница следует, что сумма знакочередующегося сходящегося ряда меньше по модулю первого члена ряда. Поскольку любой остаток ряда rn является также рядом Лейбница, то для него справедливо: ` r_n < \left| a_{n+1}\right|` .

Литература

  • Иванов Г. Е. — Глава 9. Числовые ряды. §3. Ряды со знакопеременными членами Лекции по математическому анализу —

Последовательности и ряды
Последовательности
Ряды, основное
Числовые ряды
(действия с числовыми рядами)
Функциональные ряды
Другие виды рядов
Признаки сходимости
{{#ifeq: {} | child | | Признаки сходимости рядов }}
Для всех рядов
Для знакоположительных
рядов
Для знакочередующихся
рядов
Признак Лейбница
Для рядов вида `\sum^\infty_{n=1}a_n b_n`
Для функциональных рядов
Для рядов Фурье