Биморфизм

Статья на основе материалов из Википедии

Биморфи́зм — морфизм категории, являющийся мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно, то есть морфизм, на который можно сокращать как слева, так и справа[1], теоретико-категорное обобщение понятия биективного отображения.

Понятие биморфизма самодвойственно. Композиция биморфизмов является биморфизмом, таким образом, для данной категории `\mathcal C` определена подкатегория `\mathrm{Bim}_\mathcal C \subseteq \mathcal C` , состоящая из тех же объектов, и содержащая лишь морфизмы, являющиеся биморфизмами.

Любой изоморфизм является биморфизмом, но не любой биморфизм есть изоморфизм. Например, вложение кольца целых чисел в поле рациональных чисел `\sigma: \Z \to \Q` в категории ассоциативных колец является биморфизмом, при этом необратимым, то есть, изоморфизмом не являющимся. Если биморфизм `\sigma` представлен в виде `\sigma = \tau \circ \upsilon` , то `\tau`  — мономорфизм, а `\upsilon`  — эпиморфизм.

Сбалансированная категория — категория, в которой каждый биморфизм является изоморфизмом[1], таковы, например, категория множеств и категория групп. Категория колец, категория топологических пространств, категория абелевых групп без кручения — несбалансированные.

Примечания

  1. Horst Schubert — 3.5 Bimorphisms Categories — https://books.google.ru/books?id : Springer, 2012 — 34—35 — ISBN 9783642653643

Литература

  • М. Ш. Цаленко, Е. Г. Шульгейфер Основы теории категорий — М. : Наука — 256, 1974 — Цаленко, Шульгейфер